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lunes, 22 de mayo de 2017

Cobertura de invernaderos con superficies regladas trigonométricas

En las pasadas JAEM celebradas Cartagena (julio de 2015) tuve la ocasión de asistir a un taller sobre superficies regladas en la Sagrada Familia impartido por Xavier Vilella Miró y Albert Martín López. Entre las distintas cuestiones que trataron, la que me suscitó un mayor interés, fueron unas superficies sinusoidales que Gaudí construyó en unas dependencias anexas al Templo.
Imagen tomada de http://www.etsav.upc.edu/cairat/esp/lini/lt18-esco.htm



Su capacidad para desalojar el agua de la lluvia, hace de ellas una opción elegante y práctica como cobertura de edificios. Mi abstracción, hizo que las eligiese como candidatas para las estructuras que inundan la  tierra almeriense, los invernaderos.
De forma periódica, ante grandes precipitaciones, estas explotaciones agrícolas suelen deteriorarse (cuando no hundirse) a causa de estos agentes atmosféricos.
Y la ocasión para seguir estudiando sobre ellas, vino de la mano de Esther Giménez y Juan Gisbert, profesores y organizadores del Certamen  de proyectos educativos de Ciencias Ambientales en la Universidad de Almería
Junto a mis alumnos de 4º de ESO en el IES Ciudad de Dalías, y puesto que teníamos que empezar con el bloque de Análisis dedicado a las funciones, me enfrasqué en un proyecto que demostrara la viabilidad de estas coberturas, constituyendo una alternativa realista a las que actualmente se realizan.
Para entrar en materia y situar al lector, empecemos por la definición:

"Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices."

Consideramos como directriz, la familia de funciones de la forma: 

Los parámetros a y b, inducen en la función contracciones y dilataciones (vertical y horizontal, respectivamente) que se pueden observar en el siguiente applet de Geogebra




Tras consultar con algunos profesionales y familiares que dedican su actividad productiva a la construcción de invernaderos, determinamos analíticamente, que la función que mejor se adaptaba a nuestros objetivos, era y=0.5sen(2.86):

  • La elección a=0.5, hace que el techo entre su valor más bajo y el más alto, tenga una distancia de 1m, lo que supera el espacio de aire que alberga frente a los más comunes, favoreciendo que la temperatura sea más constante a lo largo del año. 
  • El valor b=2.86 optimiza el espacio entre los postes verticales que suele ser en torno a los 2.2m. Este valor es la aproximación a dos decimales de 10𝛑/11, que se puede obtener al resolver la ecuación sen(bx)=sen[b(x+2.2)], particularizando para cualquier valor de la variable x, ya que esta restricción supone que la función tenga período 2.2.

Ventajas de estas coberturas

1. Garantizan el desplazamiento de la totalidad del agua de lluvia a la zona cóncava.

2. Los invernaderos tradicionales, no suelen tener pendiente en su techo, sino que es el suelo al que se le imprime la misma. Nuestra propuesta, pretende que el techo tenga una pendiente del 1%, en la dirección de las generatrices, que permite:

    i. Hacer converger todo el agua hacia uno de los lados del invernadero, canalizándola hacia una balsa, y realizando un aprovechamiento total de la misma, sin necesidad de canalones. 
  ii. Instalar en la zona más alta, aspersores conectados a un sistema de detección de peso sobre el techo. De esta forma, si se acumulase una cantidad que hiciera peligrar la estructura, los aspersores se podrían activar, derritiendo el granizo y canalizando todo el agua hacia la balsa al efecto. Otro de las utilidades de los aspersores, sería disminuir la temperatura de la techumbre en verano, pues el agua que se emplea es reutilizada (salvo evaporación).
  iii. La instalación de ventanas cenitales, en el sentido de las directrices, abiertas en la zona más alta, favorece que el aire caliente sea expulsado con mucha mayor facilidad. Los actuales invernaderos, suelen tener dichas ventanas abiertas hacia la dirección desde la que el aire sopla más fresco, pero no tienen mucha utilidad si la dirección del viento no es esta. 

4. El sistema de montaje, se basa en una misma pieza que se une a las siguientes mediante ensambles y sin necesidad de soldadura.


En la imagen anterior, la pieza base sería el segmento de la curva comprendido entre los puntos B y C. Los postes verticales que soportan la techumbre, se situaría en los mínimos de la superficie, en el dibujo marcados por A, C y D. La disposición regular de los postes, permite la instalación de una cobertura interior, que evite el exceso de luz y calor sobre las plantas, motorizando su uso, y evitando los periódicos blanqueos a los que los agricultores tienen que hacer frente, y que no tiene ningún efecto si después de aplicarlos llueve (la cal que se emplea, es disuelta por el agua, con el consiguiente perjuicio económico).


Completamos el trabajo, con la realización de una maqueta del diseño, usando palillos que simulan los alambres que tradicionalmente se emplean, sobre una piezas realizadas con una cortadora láser (y desde aquí agradezco la ayuda desinteresada y clave del arquitecto Javier Milán, mente inquieta y magnífico profesional). 














Y fruto de todo el trabajo realizado (memoria final, póster y maquetas) fuimos seleccionados para defender el trabajo frente el jurado, junto a otros 5 proyectos, de entre 30 presentados.



Momento de la exposición del trabajo. De izquierda a derecha: Natalia, Rosa y Elisa



El fallo del jurado, nos otorgó el segundo premio, que hizo las delicias de los alumnos.



Conclusiones

1. La superficie modelizada, permite recoger todas las precipitaciones, tanto líquidas como sólidas.
2. Al ser diferenciable, minimiza las roturas del plástico alargando su uso y reduciendo los residuos generados por sus frecuentes cambios.
3. Permite un mejor control de la temperatura, mejorando el desarrollo de las plantas y de sus frutos.
4. Reduce las consecuencias de los agentes atmosféricos, que producen serios destrozos y en ocasiones, el hundimiento de las estructuras.

El agua, un bien escaso

Tomando como dato la media de la serie histórica 1981-2010, 199.9 l/m², las 30.007 ha de cultivos invernados de la provincia podrían recoger una cantidad de agua que equivale al 29,4% del trasvase Tajo- Segura destinado a riego, o equivalentemente, el vertido del río Ebro al Mar durante casi dos días.

Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, matematicascercanas

jueves, 27 de abril de 2017

Un paseo Matemático por la Catedral

Aunque este post surgió hace varios años, las coincidencias que hacen que los astros se alineen, me han decidido a escribirlo.
El estudio de las proporciones, aplicado a la Arquitectura, da lugar a bellas composiciones que con el paso del tiempo permanecen olvidadas aunque inalterables en forma de piedra. Este es el caso de un gran número de Catedrales y edificios singulares de los siglos XVI y XVII.
Puerta Principal de la Catedral de Almería

El caso que nos ocupa, es la Catedral-Fortaleza de la Encarnación en Almería, Su construcción dio comienzo a partir de 1522 con una doble función: dar amparo moral a los cristianos y protegerlos de las insurrecciones moriscas así como de los piratas berberiscos que asolaban el Mediterráneo. Dado que la construcción del templo finaliza en 1564 por Juan de Orea, incorpora elementos tanto góticos como renacentistas.
El estilo renacentista, toma muchos y variados ejemplos de la cultura Helénica, como es la utilización del número áureo así comos otro irracionales () que dan lugar a rectángulos cuyos lados guardan estas proporciones. Para la obtención del número de oro, tenemos que recurrir a la división en media y extrema razón de un segmento:
"Diremos que un segmento se encuentra dividido en media y extrema razón, si la medida mayor es media proporcional entre el total y la parte menor". Es decir, dado un segmento de longitud 1 (suposición que no resta generalidad, pues en otro caso basta con buscar el correspondiente homotético) y la longitud del lado mayor sea x. Entonces:


De estas dos soluciones, al descartar la negativa, llamamos número de oro a la restante, es decir:
Veamos cómo se realiza la construcción de los rectángulos áureo, es decir, aquellos en los que la razón de sus lados es :

Partimos de un cuadrado ABCD, de lado l, y marcamos el punto medio de uno de sus lados, dígase E. Con centro en este punto, y radio la distancia de E a C, trazamos un arco de circunferencia que cortará a la prolongación del lado AB en el punto F. El rectángulo AFGD, es áureo.
Para demostrar lo que se afirma, basta con calcular la dimensión del lado AF y comprobar que la razón que forma junto al lado AD, es 


Así:
En el caso de los rectángulos , las construcciones son similares, salvo que el centro de la circunferencia es un vértice del cuadrado (en el primer caso) y en el segundo un vértice de un rectángulo cuya base es el doble de la altura.
Y para que el lector pueda descubrir los rectángulos anteriores, en el Templo almeriense, sólo tiene que jugar con el siguiente aplet de Geogebra:


Los más excepticos, quizá puedan achacarme que el método empleado, no constituye una demostración, pero sigue la misma metodología expuesta por el profesor de la Universidad de Granada Álvaro Martínez Sevilla, en sus paseos matemáticos por Granada, a quien tuve el gusto de conocer en el V Encuentro de Geogebra celebrado en Málaga y divertirme con sus explicaciones.

¿Es necesario coger instrumentos de medida para comprobar la presencia de la proporción áurea en los monumentos? La respuesta es no; cuando pases frente a ellos, coje tu DNI (que también es un rectángulo áureo) y cerrando un ojo házlo coincidir con los que aparecen marcados en las fotografías en dorado; verás que son semejantes. Cuando el lector pasee por el centro de su ciudad, ya tiene un nuevo entretenimiento: buscar la proporción áurea. Adelante, que hay bastantes más ejemplos.
Este post participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog Semillas.

sábado, 4 de marzo de 2017

Razones trigonométricas

En la Antigüedad, los matemáticos observaron que dados dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo común (y por lo tanto los otros dos), al dividir entre si los lados en uno de ellos, los resultados no varían si hacemos las divisiones oportunas en el otro. Y estas divisiones, o razones, sólo dependen del ángulo que fijemos como punto de referencia. Puesto que sólo podemos establecer 6 razones al permutar la hipotenusa y los catetos en el numerador y el denominador de la fracción, tenemos 6 razones inmutables.Sea  el ángulo agudo en cuestión. Al cateto que no forma parte del lado del ángulo (b) se le llama cateto opuesto y contiguo al que si forma parte del mismo (c). Denotando por a, a la hiponesusa, podemos dar nombre a estas 6 cantidades: las razones trigonométricas del ángulo :




Podemos generalizar las razones trigonométricas a cualquier ángulo, identificando la abscisa (x) y la ordenada (y) con el coseno y el seno respectivamente. Y para jugar con todo esto, os dejo este aplet que espero os guste.

domingo, 12 de febrero de 2017

Polígonos estrellados

Esta entrada que hoy he decidido escribir, surgió hace ya algún tiempo, como respuesta a un problema cotidiano: tapar mi piscina desmontable y que la cobertura no se hundiera. Para ello, traté de unir los bastidores con una cuerda que bajo la lona, sostuviese a esta. Ahí descubrí (aunque no fuese el primero) una relación entre la Geometría y el Álgebra, que me llenó de satisfacción y que procedo a describir.
Dado un polígono (sea o no regular), se llama polígono estrellado a la poligonal que une todos sus vértices, sin repetir ninguno y que empieza y termina en uno dado (también daría para hablar sobre grafos...).
Por cuestiones estéticas, supongamos que el polígono de partida es regular y que tiene n vértices, al que denotaremos por  siendo sus vértices .
Si consideramos el conjunto de vértices, podemos definir en él una operación interna, dada por:



Puede comprobarse que al dotar al conjunto de vértices de esta operación e identificar la suma de vértices con una arista, el conjunto pasa a tener estructura de grupo abeliano, y es isomorfo a 
.
Por lo tanto, para cumplir nuestro objetivo, basta con encontrar un generador (o grupo cíclico) del correspondiente Z-módulo. Pero sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un elemento  sea un generador es que mcd(a,n)=1. Si a=1 o bien a=n-1, el polígono "estrellado" coincide con el polígono y por lo tanto no será de nuestro "agrado". Usando la notación Schäfli , el polígono que surge en   al unir dos vértices a distancia d y lo notaremos {n, d}, es estrellado si y sólo si mcd(n,d)=1. 
¡Una auténtica simbiosis entre la Geometría y el Álgebra! (gracias también por ello, Galois). 
En particular, si n es un número primo, al unir vértices con la misma distancia, obtendremos un polígono estrellado (salvo a distancia 1, que como ya hemos comentado, obtendríamos el propio polígono). 

Para fijar ideas veamos algunos ejemplos:

    • Para n=3, no se pueden trazar otras aristas que las propias del triángulo, con lo que no surge ningún polígono estrellado.
    • Para n=4, sólo se tiene la situación no trivial d=2, que nos conduce a una diagonal.
    • Para n=5 (primo), los valores d=1, 4 nos conducen las mismo pentágono. En cambio para d=2, 4, tenemos el pentágono estrellado.

  • Para n=7, obtenemos dos polígonos estrellados correspondientes a d=2 y 3


 
Y para que los sentidos se deleiten con bellas construcciones, os dejo este aplet de Geogebra, con el que se puede jugar a mover los deslizadores y probar las propiedades que unen la estas dos disciplinas, en apariencia distantes, como son el Álgebra y la Geometría

lunes, 23 de enero de 2017

¿Cuántos triángulos ves?

Tengo la suerte de disfrutar de un elenco de alumnos en 1º de ESO, que comparten conmigo el gusto por la resolución de problemas, haciendo suya la frase "a los matemáticos no nos gustan los problemas, si no que nos divertimos intentando resolverlos". En esta línea, el pasado jueves trajeron un problema a clase y lo plantearon al grupo (incluido al que escribe), y el enunciado del mismo es el que da título a esta entrada: ¿Cuántos triángulos ves?
No cuesta mucho esfuerzo realizar el conteo de los mismos, para darse cuenta que en total hay 24 (es por si solo un ejercicio que recomiendo a cualquiera que le apetezca disfrutar un rato en el intento).
Pero lo que me parece más atrayente es encontrar un método que permita saber de antemano cuántos hay buscando patrones. En esta figura, aparecen dos tipos:
Tipo 1:
Se trata de un triángulo en el que hemos trazado paralelas a la base desde puntos de los lados que no la contienen. Claramente, habrá tantos triángulos como paralelas más el original. De esta forma, si hemos trazado n paralelas, el número de triángulos será .
Tipo 2:
Es el más jugoso en cuanto a las cuentas y además el número de triángulos que aparecen es también recursivo, pues al añadir una nueva ceviana (recta que parte de un vértice e incide sobre el lado opuesto) el número de triángulos será la suma de los obtenidos con una ceviana menos y los nuevos que se formen. Para fijar ideas, llamando  al número de triángulos que aparecen al trazar n cevianas tenemos:


 
Si observamos los primeros valores (1, 3, 6, 10, 15,...) podemos comprobar que la sucesión, es una progresión aritmética de segundo orden con diferencia 1, con lo que el término general vendrá dado por:
Vamos a usar el Principio de inducción para probar esta afirmación sobre el término general:
  • Para 
  • Supongamos cierto para un natural n que 
  • Queremos comprobar que: 
De esta forma: 









Lo que prueba la afirmación sobre el término general (nótese que n+2 es el número de triángulos nuevos que surgen al tratar una ceviana más).


Volviendo sobre la propuesta inicial, nuestra figura está compuesta de dos de tipo 1 (los triángulos FGA y AGC) y tres de tipo 2 (los triángulos BFG, BAG y BAC), con lo que podemos contrastar que el número de triángulos es:



Este post participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog del IMUS.

domingo, 15 de enero de 2017

Come migas por tu lado

En esta tierra que me vio nacer, Almería, existe una arraigada costumbre de comer migas los días lluviosos (esto no es óbice para degustarlas un 15 de julio con 40 grados a la sombra). Aunque no voy a entrar en la terminología que recoge el plato (como por ejemplo qué es una paila o la rasera) ni en los secretos culinarios que encierra este manjar tan apreciado, su receta se puede consultar aquí.
Paila de migas con el acompañamiento, entre el que no faltan los boquerones

Es tradición comer directamente de la paila, cuando el plato se prepara en el campo o en compañía de amigos, por lo que se usa con frecuencia la frase ¿cuándo hemos comido migas juntos? para mostrar la distancia entre dos conocidos cuando uno de ellos se toma alguna licencia.

Pero es otra la frase que da pie a esta entrada, Come migas por tu lado (que si la pronuncio, diría lao) la que motiva la misma: ¿cuál es mi lado?
Supongamos que la paila es una circunferencia C, de centro el punto O y nos encontramos sentados en el punto P. Queremos encontrar el punto P' de C, por el que introducir la cuchara. Claramente P' debe ser el punto de C más proximo a P y se obtiene intersecando la recta que pasa por O y P con C. Como estamos sentados fuera de la paila, P es exterior a C, con lo que la intersección de la recta OP con C, nos proporciona dos puntos: P', el más próximo a P y P'' el más alejado. En efecto, si Q es un punto de C distinto de P' y P'', tenemos la situación que muestra el siguiente dibujo:
d(P,O)=d(P,P')+d(P',O)<d(P,Q)+d(Q,O)d(P,P)<d(P,Q)

Finalmente

d(P,P′′)=d(P,O)+d(O,P′′)=d(P,O)+d(O,Q)>d(P,Q)d(P,P′′)>d(P,Q)

Ahora que ya sabemos por dónde introducir la cuchara, falta el día lluvioso para acompañar a las ricas migas con los inexcusables boquerones ¿Te gusta la propuesta?