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miércoles, 20 de noviembre de 2013

El Teorema de Pick

El resultado que da título a esta entrada, ha sido para mí un auténtico descubrimiento así como un recurso fantástico, que no contemplan los Decretos que concretan el Currículo, para explicar Geometría en los primeros cursos de la ESO. Creo fírmemente que debemos conocer al autor, un verdadero desconocido:

Georg Alexander Pick (1859–1942) fue un matemático austriaco nacido en el seno de una familia de origen judío. Su educación inicial estuvo a cargo de su padre hasta que cumplió los 11 años. En 1875 ingresó en la Universidad de Viena y al año siguiente publicó su primer artículo sobre matemáticas, con apenas diecisiete años de edad. Estudió Matemáticas y Física, graduándose en 1879, lo que le permitió tener la formación adecuada para enseñar ambas disciplinas. Tras defender su tesis doctoral, ejerció como asistente en la Universidad Alemana de Praga, en la actual República Checa, donde en 1888 fue nombrado profesor.
Sus 67 publicaciones matemáticas, abordaron distinto campos, siendo su aportación más importante el llamado Teorema de Pick, que apareció en un artículo en 1899. Este resultado no tuvo gran notoriedad hasta que el matemático Hugo Steinhaus Dyonizy lo incluyó en su Mathematical Snapsghots (1969). 
Pick fue nombrado rector de la Facultad de Filosofía de Praga en 1901 En 1910 fue el principal impulsor de la candidatura a Catedrático de Física de Albert Einstein (cargo que ocupó hasta 1913) y durante estos años los dos se volvieron amigos íntimos tanto por sus intereses científicos, como por su gran afición por la música.
En 1927 pasó a ser profesor emérito de la Universidad de Praga y abandonó toda actividad académica. Pick fue elegido miembro de la Academia de Ciencias y Artes de la República Checa pero los nazis lo excluyeron y enviaron al campo de concentración de Theresienstadt el 13 de julio de 1942 y murió dos semanas más tarde, a los ochenta y dos años.


Entrada al campo de concentración de Theresienstadt, con el mismo lema repetido en otros Campos: El trabajo libera  (Fotografía tomada de Wikipedia)



El Teorema de Pick es una fórmula que nos permite obtener el área de un polígono simple (que no tiene agujeros ni intersecciones de sus lados). Otra de sus exigencias es que las coordenadas de los puntos donde se traza el polígono sean enteras (puntos enteros), es decir en una malla reticular cuadrada.



Sea un polígono simple cuyos vértices son puntos enteros. Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:

 



Ejemplo: Consideremos el polígono simple





Se observa que el número de puntos en su interior (marcados en rojo) es 13 y el número de puntos en el borde (marcados en azul) es 12. Por lo tanto su área viene dada por:



Símplemente...genial. Con unas hipótesis muy leves, podemos calcular el área de figuras sumamente intrincadas y además de una manera elegante. La demostración del mismo, puede hacerse usando el Principio de Inducción.  

Las posibilidades didácticas de este resultado son muy ámplias, pero como es de esperar, no es la panacea. De hecho, la restricción sobre las coordenadas enteras de los vértices hace que no podamos calcular, por ejemplo, el área de un triángulo equilátero (háganse las cuentas y en una de las coordenadas de los vertices tiene que aparecer ).

En clase de Tecnología, hemos construidos unos geoplanos con púas y sirviéndonos de lana de colores, realizamos actividades en las que se aplica el resultado de Pick. En la fotografía siguiente, se muestra el ejemplo anterior llevado a la práctica.



Os animo a que realiceis la experiencia, pues si ha ocurrido como en mi caso, ha resultará todo un éxito.

Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.








martes, 5 de noviembre de 2013

Tetraedro de sierpinski con papiroflexia

El Tetraedro de Sierpinski, es una generalización tridimensional del famoso triángulo, obra del matemático de origen polaco Waclaw Sierpinski (1882 -1969). Su construcción se realiza partiendo de un tetraedro. Sobre cada una de sus caras, marcamos los puntos medios de las aristas. Al unirlas, aparece un octaedro, el cual eliminamos. En las siguientes imagenes se muestran las cuatro primeras iteraciones del proceso:
Imagen tomada de http://fractales.org/el-tetraedro-de-sierpinski/
El número de tetraedros en cada iteración se ve multiplicado por cuatro. Por lo tanto, en la iteración n aparecen 4n tetraedros.
Este objeto fractal, tiene una de esas propiedades geométricas tan interesantes y a la vez tan extrañas, que hicieron que estos entes matemáticos se les denominase monstruos: El área del tetraedro original, es la misma que las figuras que resultan en cada iteración (pues las caras que se pierden en los tetraedros centrales, se ven compensadas por las caras interiores que van apareciendo). En cambio el volumen si va mermando, y tiende a cero. La primera consideración es obvia, con lo que me centraré en demostrar la segunda
Consideremos un tetraedro de arista a. Es fácil comprobar que el volumen del mismo es:

El volumen de cada iteración, es la mitad que el anterior y por lo tanto el de la iteración n sería:
 
La sucesión de los volúmenes, es una progresión geométrica de razón 1/2 cuyo límite tiende a cero.
La propuesta didáctica que nos hemos marcado para presentarla dentro del proyecto Juegos y joyas fractales, a la XII Feria de la Ciencia en Sevilla es construir la quinta iteración del tetraedro, pero...usando papiroflexia. Si, ya se que en papiroflexia no se usa pegamento, pero en cualquier caso, los tetraedros se van a realizar usando tecnicas de papiroflexia modular. Concretamente para formar cada uno de ellos necesitamos dos módulos triangulares.

Hacemos recuento de materiales, para la quinta iteración:
  • 45=1024 tetraedros
  • 1024·2=2048 módulos triangulares (tamaño A5)
  • Pegamento de secado rápido y lento (para hacer que las uniones tengan mayor superficie)


Tercera iteración
Esta entrada se irá completando con otras imágenes del proyecto





viernes, 25 de octubre de 2013

martes, 8 de octubre de 2013

Ciencia en Acción

Estamos de enhorabuena. El trabajo realizado durante el pasado curso 2012/2013 en el Colegio Agave en las asignaturas de Matemáticas y Tecnología, en base a una idea de José Luis Rodríguez Blancas profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Almería, ha dado sus frutos. Presentamos a la XIV edición del concurso Ciencia en Acción celebrada en Bilbao del 4 al 6 de octubre y el proyecto fue seleccionado como finalista.





Pretendíamos mostrar el estudio de los movimientos del plano (traslaciones, giros y simetrías) usando una manifestación artística de excepción: los mosaicos Nazaríes. En particular un tipo de ellos llamados lacerías y que son susceptibles de ser realizados usando hilos de colores. Tal propuesta, iba a ser abordada desde tres actividades:
  • Construcción de distintas lacerías tanto de la Alhambra de Granada como de los Reales Alcázares de Sevilla

Lacerías y celosías de la Alhambra

Detalle de una lacería de la Alhambra
Lacería de los Reales Alcázares
  • Utilización de la caja de espejos para partiendo del motivo mínimo se reprodujese todo el mosaico






  • Simetrías ocultas, mediante las cuales, podemos descomponer las lacerías en piezas como las de un puzle
 

 
Durante la edición del concurso fuimos galardonados con el premio Ágora, concedido por un jurado de chicos, como el proyecto más interesante para ser expuesto en la sala principal del edificio donde se produjo el evento. Aquí me teneis en nuestro stand, mostrando uno de los mosaicos realizados expresamente para el evento, usando un kit de José Luis Rodríguez que se podrá adquirir próximamente en la tienda de la Alhambra



Vista completa del stand

En esta instantánea podeis ver un momento de la visita del jurado. Las caras de los integrantes lo dicen todo


El mismo, compuesto por un elenco interdisciplinar de científicos, en el que no faltaron matemáticos como D. Manuel de León (director del ICMAT), D. David Martín (investigador del ICMAT) que se interesaron tanto por la construcción de los mosaicos, como por su contenido algebraico así como por la clasificación de los mismos. Especialmente quiero agradecer a D. José Ignacio Royo Prieto (profesor de UPV) su capacidad de transmitir en el taller de papiroflexia al que tuve la ocasión de asistir y que impartió en la mañana del sábado.
El proyecto ha sido galardonado con el primer premio ex aequo en la modalidad de Laboratorio de Matemáticas, concedido por el ICMAT, por la belleza de la presentación de los mosaicos con cuerdas y su utilidad como recurso didáctico para acercar las matemáticas de patrones geométricos.

Recogiendo el premio de manos de D. Manuel de León
  
Quiera agradecer enormemente a mis compañeros y amigos de andadura, Mari Carmen Sánchez Melero y José Luis Rodríguez Blancas, que por distintos motivos no han podido acompañarme en la final del concurso, su colaboración y dirección en el caso de José Luis, quien ha sido el alma máter y cabeza pensante del proyecto. No puedo dejar de mencionar a los excepcionales alumnos con los que contamos el curso pasado en tercero de ESO, verdaderos protagonistas en primerísima persona y adalices del proyecto, así como a la dirección del Centro por su apoyo incondicional y palabras de ánimo.
Especialmente quiero citar a mi esposa que aunque en la sombra, me ha facilitado las labores de padre y sin cuya comprensión y amor, las cosas no serían iguales.
  

miércoles, 7 de agosto de 2013

Arte matemático II

Os dejo otra figura de George W Hart, y en este caso esta formada por 20 triángulos equiláteros. Puede verse como un sólido arquimediano, el icosaedro truncado, que tiene 32 caras ( los 20 hexágonos que se obtienen de los triángulos y los 12 pentágonos que quedan enmedio). Este poliedro es el que se ha usado durante mucho tiempo como modelo para los balones de Fútbol, ya que ocupa el 86,74% de la esfera circunscrita. Una vez que se infla, el porcentaje llega al 95%.

sábado, 3 de agosto de 2013

Arte matemático

Hace tiempo que vengo siguiendo las creaciones de George W Hart. Entre otras esculturas, encontramos esta que os dejo. Se genera a partir de 20 cuadrados a los que hay que realizar cuatro hendiduras para encajar las siguientes piezas y está inspirada en el icosaedro. Lo realmente edificante, es su montaje, pues hay que tener en cuenta la geometría del cuerpo para poder terminarla con éxito.
En el taller de matemáticas de tercero de ESO pretendo construir, junto con Tecnología otras figuras empleando otros materiales.

miércoles, 22 de mayo de 2013

Experiencias con Polifieltros 3D



Bueno, pues os relato mi primera toma de contacto con el juego de Polifieltros 3D que hemos adquirido en el Colegio. En la sesión de hoy, quería que los alumnos de 1º de ESO conociesen el material, se familiarizaran con él y experimentaran. Para ello he planteado como actividad que pudieran manipular los polígonos y descubrieran cuáles de los que aparecen en el juego teselan el plano. Esto ha dado pie a deducir (a partir de un ejemplo) la fórmula que permite saber el valor de los ángulos interiores de un polígono regular, a saber, si tiene n lados cada ángulo mide 180(n-2)/n. Posteriormente he introducidos los mosaicos semiregulares, es decir, aquellos que pueden realizarse usando varios polígonos regulares con la condición de que alrededor de cada vértice han de estar presentes siempre los mismos polígonos y en el mismo número. Sin dificultad, puede demostrarse que sólo hay 8 posibilidades que paso a ilustrar. La notación n1, n2,..., nk, indica que hay un polígono de n1 lados, otro de n2 lados,..., otro de nk lados alrededor de un vértice. Si contáis bien ¿Falta uno? La solución en breve

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del  Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es i-matematicas.

3 3 4 3 4

8 4 8

6 4 3 4

12 3 12

6 3 6 3

12 4 6

3 3 3 4 4
3 3 3 3 6

viernes, 10 de mayo de 2013

Primer día de Feria

 Hoy hemos montado el stand de la Feria de la Ciencia en el FIBES (Sevilla). El número de personas que se ha acercado  ha sido numeroso y al final de la jornada el esfuerzo se ha hecho notar. Pero como lo que hacemos nos apasiona, hemos seguido un rato más haciendo una de las lacerías que José Luis Rodríguez Blancas tiene en marcha: ciertamente engancha. El Sábado vamos con el grupo del Colegio y seguro que verán su trabajo reconocido. Hemos dejado para este día los frisos con saltos. Os dejo algunas fotos

lunes, 29 de abril de 2013

Visita de José Luis Rodríguez


El pasado jueves 25 de abril tuvimos la suerte de contar con José Luis Rodríguez Blancas en nuestro Centro. Tras mostrar algunos de sus materiales topológicos, como cuerdas, trenzados con palabras o fractales, acompañados de las explicaciones pertinentes, los alumnos de 3º de ESO tuvieron la oportunidad de manipular los mismos. Con sus Polifieltros 3D se estuvieron construyendo distintos poliedros y recubriendo un toro (nombre que le damos en Matemáticas a lo que Homer Simpson llama "rosquilla"). En el video adjunto, podemos verlo con un hiperdodecaedro.

video

lunes, 22 de abril de 2013

Os dejo alguno de los mosaicos de M.C. Escher. A mis alumnos les han encantado y al que escribe, por  más veces que los vea, también



Resumen


Os dejo el video que hizo José Luis Rodríguez como avance de las actividades de la Feria de la Ciencia.

Frisos

Simetría horizontal y deslizamiento
Traslación y simetría horizontal
Traslación


Simetría vertical y giro de 180º

Simetría vertical

Giro de 180º, simetría vertical y traslación

Giro de 180º y traslación
Aquí os presento las siete formas de generar un friso. Esta es una de las actividades que haremos en la Feria de la Ciencia pero... SALTANDO

martes, 16 de abril de 2013

domingo, 14 de abril de 2013

Proyecto XI Feria de la Ciencia de Sevilla















Algunas fotos de los proyectos que vamos a presentar en la XI Feria de la Ciencia en Sevilla, de la mano de José Luis Rodríguez Blancas (Universidad de Almería) y junto a Cristina García (IES Alyanub)