jueves, 27 de abril de 2017

Un paseo Matemático por la Catedral

Aunque este post surgió hace varios años, las coincidencias que hacen que los astros se alineen, me han decidido a escribirlo.
El estudio de las proporciones, aplicado a la Arquitectura, da lugar a bellas composiciones que con el paso del tiempo permanecen olvidadas aunque inalterables en forma de piedra. Este es el caso de un gran número de Catedrales y edificios singulares de los siglos XVI y XVII.
Puerta Principal de la Catedral de Almería

El caso que nos ocupa, es la Catedral-Fortaleza de la Encarnación en Almería, Su construcción dio comienzo a partir de 1522 con una doble función: dar amparo moral a los cristianos y protegerlos de las insurrecciones moriscas así como de los piratas berberiscos que asolaban el Mediterráneo. Dado que la construcción del templo finaliza en 1564 por Juan de Orea, incorpora elementos tanto góticos como renacentistas.
El estilo renacentista, toma muchos y variados ejemplos de la cultura Helénica, como es la utilización del número áureo así comos otro irracionales () que dan lugar a rectángulos cuyos lados guardan estas proporciones. Para la obtención del número de oro, tenemos que recurrir a la división en media y extrema razón de un segmento:
"Diremos que un segmento se encuentra dividido en media y extrema razón, si la medida mayor es media proporcional entre el total y la parte menor". Es decir, dado un segmento de longitud 1 (suposición que no resta generalidad, pues en otro caso basta con buscar el correspondiente homotético) y la longitud del lado mayor sea x. Entonces:


De estas dos soluciones, al descartar la negativa, llamamos número de oro a la restante, es decir:
Veamos cómo se realiza la construcción de los rectángulos áureo, es decir, aquellos en los que la razón de sus lados es :

Partimos de un cuadrado ABCD, de lado l, y marcamos el punto medio de uno de sus lados, dígase E. Con centro en este punto, y radio la distancia de E a C, trazamos un arco de circunferencia que cortará a la prolongación del lado AB en el punto F. El rectángulo AFGD, es áureo.
Para demostrar lo que se afirma, basta con calcular la dimensión del lado AF y comprobar que la razón que forma junto al lado AD, es 


Así:
En el caso de los rectángulos , las construcciones son similares, salvo que el centro de la circunferencia es un vértice del cuadrado (en el primer caso) y en el segundo un vértice de un rectángulo cuya base es el doble de la altura.
Y para que el lector pueda descubrir los rectángulos anteriores, en el Templo almeriense, sólo tiene que jugar con el siguiente aplet de Geogebra:


Los más excepticos, quizá puedan achacarme que el método empleado, no constituye una demostración, pero sigue la misma metodología expuesta por el profesor de la Universidad de Granada Álvaro Martínez Sevilla, en sus paseos matemáticos por Granada, a quien tuve el gusto de conocer en el V Encuentro de Geogebra celebrado en Málaga y divertirme con sus explicaciones.

¿Es necesario coger instrumentos de medida para comprobar la presencia de la proporción áurea en los monumentos? La respuesta es no; cuando pases frente a ellos, coje tu DNI (que también es un rectángulo áureo) y cerrando un ojo házlo coincidir con los que aparecen marcados en las fotografías en dorado; verás que son semejantes. Cuando el lector pasee por el centro de su ciudad, ya tiene un nuevo entretenimiento: buscar la proporción áurea. Adelante, que hay bastantes más ejemplos.
Este post participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog Semillas.

sábado, 4 de marzo de 2017

Razones trigonométricas

En la Antigüedad, los matemáticos observaron que dados dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo común (y por lo tanto los otros dos), al dividir entre si los lados en uno de ellos, los resultados no varían si hacemos las divisiones oportunas en el otro. Y estas divisiones, o razones, sólo dependen del ángulo que fijemos como punto de referencia. Puesto que sólo podemos establecer 6 razones al permutar la hipotenusa y los catetos en el numerador y el denominador de la fracción, tenemos 6 razones inmutables.Sea  el ángulo agudo en cuestión. Al cateto que no forma parte del lado del ángulo (b) se le llama cateto opuesto y contiguo al que si forma parte del mismo (c). Denotando por a, a la hiponesusa, podemos dar nombre a estas 6 cantidades: las razones trigonométricas del ángulo :




Podemos generalizar las razones trigonométricas a cualquier ángulo, identificando la abscisa (x) y la ordenada (y) con el coseno y el seno respectivamente. Y para jugar con todo esto, os dejo este aplet que espero os guste.

domingo, 12 de febrero de 2017

Polígonos estrellados

Esta entrada que hoy he decidido escribir, surgió hace ya algún tiempo, como respuesta a un problema cotidiano: tapar mi piscina desmontable y que la cobertura no se hundiera. Para ello, traté de unir los bastidores con una cuerda que bajo la lona, sostuviese a esta. Ahí descubrí (aunque no fuese el primero) una relación entre la Geometría y el Álgebra, que me llenó de satisfacción y que procedo a describir.
Dado un polígono (sea o no regular), se llama polígono estrellado a la poligonal que une todos sus vértices, sin repetir ninguno y que empieza y termina en uno dado (también daría para hablar sobre grafos...).
Por cuestiones estéticas, supongamos que el polígono de partida es regular y que tiene n vértices, al que denotaremos por  siendo sus vértices .
Si consideramos el conjunto de vértices, podemos definir en él una operación interna, dada por:



Puede comprobarse que al dotar al conjunto de vértices de esta operación e identificar la suma de vértices con una arista, el conjunto pasa a tener estructura de grupo abeliano, y es isomorfo a 
.
Por lo tanto, para cumplir nuestro objetivo, basta con encontrar un generador (o grupo cíclico) del correspondiente Z-módulo. Pero sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un elemento  sea un generador es que mcd(a,n)=1. Si a=1 o bien a=n-1, el polígono "estrellado" coincide con el polígono y por lo tanto no será de nuestro "agrado". Usando la notación Schäfli , el polígono que surge en   al unir dos vértices a distancia d y lo notaremos {n, d}, es estrellado si y sólo si mcd(n,d)=1. 
¡Una auténtica simbiosis entre la Geometría y el Álgebra! (gracias también por ello, Galois). 
En particular, si n es un número primo, al unir vértices con la misma distancia, obtendremos un polígono estrellado (salvo a distancia 1, que como ya hemos comentado, obtendríamos el propio polígono). 

Para fijar ideas veamos algunos ejemplos:

    • Para n=3, no se pueden trazar otras aristas que las propias del triángulo, con lo que no surge ningún polígono estrellado.
    • Para n=4, sólo se tiene la situación no trivial d=2, que nos conduce a una diagonal.
    • Para n=5 (primo), los valores d=1, 4 nos conducen las mismo pentágono. En cambio para d=2, 4, tenemos el pentágono estrellado.

  • Para n=7, obtenemos dos polígonos estrellados correspondientes a d=2 y 3


 
Y para que los sentidos se deleiten con bellas construcciones, os dejo este aplet de Geogebra, con el que se puede jugar a mover los deslizadores y probar las propiedades que unen la estas dos disciplinas, en apariencia distantes, como son el Álgebra y la Geometría

lunes, 23 de enero de 2017

¿Cuántos triángulos ves?

Tengo la suerte de disfrutar de un elenco de alumnos en 1º de ESO, que comparten conmigo el gusto por la resolución de problemas, haciendo suya la frase "a los matemáticos no nos gustan los problemas, si no que nos divertimos intentando resolverlos". En esta línea, el pasado jueves trajeron un problema a clase y lo plantearon al grupo (incluido al que escribe), y el enunciado del mismo es el que da título a esta entrada: ¿Cuántos triángulos ves?
No cuesta mucho esfuerzo realizar el conteo de los mismos, para darse cuenta que en total hay 24 (es por si solo un ejercicio que recomiendo a cualquiera que le apetezca disfrutar un rato en el intento).
Pero lo que me parece más atrayente es encontrar un método que permita saber de antemano cuántos hay buscando patrones. En esta figura, aparecen dos tipos:
Tipo 1:
Se trata de un triángulo en el que hemos trazado paralelas a la base desde puntos de los lados que no la contienen. Claramente, habrá tantos triángulos como paralelas más el original. De esta forma, si hemos trazado n paralelas, el número de triángulos será .
Tipo 2:
Es el más jugoso en cuanto a las cuentas y además el número de triángulos que aparecen es también recursivo, pues al añadir una nueva ceviana (recta que parte de un vértice e incide sobre el lado opuesto) el número de triángulos será la suma de los obtenidos con una ceviana menos y los nuevos que se formen. Para fijar ideas, llamando  al número de triángulos que aparecen al trazar n cevianas tenemos:


 
Si observamos los primeros valores (1, 3, 6, 10, 15,...) podemos comprobar que la sucesión, es una progresión aritmética de segundo orden con diferencia 1, con lo que el término general vendrá dado por:
Vamos a usar el Principio de inducción para probar esta afirmación sobre el término general:
  • Para 
  • Supongamos cierto para un natural n que 
  • Queremos comprobar que: 
De esta forma: 









Lo que prueba la afirmación sobre el término general (nótese que n+2 es el número de triángulos nuevos que surgen al tratar una ceviana más).


Volviendo sobre la propuesta inicial, nuestra figura está compuesta de dos de tipo 1 (los triángulos FGA y AGC) y tres de tipo 2 (los triángulos BFG, BAG y BAC), con lo que podemos contrastar que el número de triángulos es:



Este post participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog del IMUS.

domingo, 15 de enero de 2017

Come migas por tu lado

En esta tierra que me vio nacer, Almería, existe una arraigada costumbre de comer migas los días lluviosos (esto no es óbice para degustarlas un 15 de julio con 40 grados a la sombra). Aunque no voy a entrar en la terminología que recoge el plato (como por ejemplo qué es una paila o la rasera) ni en los secretos culinarios que encierra este manjar tan apreciado, su receta se puede consultar aquí.
Paila de migas con el acompañamiento, entre el que no faltan los boquerones

Es tradición comer directamente de la paila, cuando el plato se prepara en el campo o en compañía de amigos, por lo que se usa con frecuencia la frase ¿cuándo hemos comido migas juntos? para mostrar la distancia entre dos conocidos cuando uno de ellos se toma alguna licencia.

Pero es otra la frase que da pie a esta entrada, Come migas por tu lado (que si la pronuncio, diría lao) la que motiva la misma: ¿cuál es mi lado?
Supongamos que la paila es una circunferencia C, de centro el punto O y nos encontramos sentados en el punto P. Queremos encontrar el punto P' de C, por el que introducir la cuchara. Claramente P' debe ser el punto de C más proximo a P y se obtiene intersecando la recta que pasa por O y P con C. Como estamos sentados fuera de la paila, P es exterior a C, con lo que la intersección de la recta OP con C, nos proporciona dos puntos: P', el más próximo a P y P'' el más alejado. En efecto, si Q es un punto de C distinto de P' y P'', tenemos la situación que muestra el siguiente dibujo:
d(P,O)=d(P,P')+d(P',O)<d(P,Q)+d(Q,O)d(P,P)<d(P,Q)

Finalmente

d(P,P′′)=d(P,O)+d(O,P′′)=d(P,O)+d(O,Q)>d(P,Q)d(P,P′′)>d(P,Q)

Ahora que ya sabemos por dónde introducir la cuchara, falta el día lluvioso para acompañar a las ricas migas con los inexcusables boquerones ¿Te gusta la propuesta?

domingo, 8 de enero de 2017

La Geometría al servicio de la moda: La pata de gallo

Algunos de los diseños que pueblan los tejidos con los que los diseñadores marcan las tendencias de la moda, están íntimamente ligados con ciertas construcciones matemáticas. Hoy, me voy a referir a los conocidos como pata de gallo, que desde hace algún tiempo abundan en los escaparates. 


Y precisamente es lo que me pasó el otro día: vi una prenda de ropa con este motivo, y me propuse desentrañar su construcción. 
Se trata de un mosaico periódico, cuyo tesela se genera a partir de un cuadrado, que se subdivide en otros 16 cuadrados congruentes. Trazando la poligonal del dibujo y trasladando esta, obtenemos la pieza que se va a repetir, la tesela. 

Y ahora basta con repetirla en direcciones perpendiculares entre si (nótese, que las teselas blancas, se generan por los huecos que dejan las negras). Y para divertirse, podéis manipular el siguiente applet de Geogebra.

martes, 3 de enero de 2017

Las tablas de multiplicar

En 2º de Primaria se introducen las consabidas tablas de multiplicar, pues son necesarias para aplicar el algoritmo que nos permite calcular la multiplicación de dos números. El método tradicional, consiste en ir aprendiendo una a una todas las tablas hasta el 9 (o el 10  aunque esta última no haga falta).
Hace poco, tuve contacto con otro método alternativo, que consiste en visualizarlas todas de golpe:


Si llegado este punto, has sufrido un sobresalto, te ruego que sigas leyendo y emitas tu opinión al terminar el post.

Cuando nos estudiamos (como yo hice e igual que como seguramente tú aprendiste) las tablas, era un signo de distinción decir hasta la que te sabías. Es por ello, que las que más quebraderos de cabeza ofrezcan sean las últimas y en las que solemos cometer más fallos. El motivo es que las primeras las recitamos muchas más veces que las últimas.

Pero además, hasta que no íbamos avanzando en el tedioso camino de recordarlas, no podíamos deducir ciertas propiedades algebraicas del producto, que por contra se adquieren con facilidad en la suma.
Veamos entonces qué ventajas respecto al método tradicional tiene este:

  1. Se puede dar a los escolares la tabla vacía, para que ellos la rellenen, poco a poco. Con ello, afianzamos el concepto de multiplicación, entendida como una suma repetida del mismo número.
  2. Por descubrimiento, el niño aprende que el cero es el elemento absorbente para el producto y que el uno es el elemento neutro.
  3. Si observamos los juegos de construcción de nuestros hijos, podremos darnos cuenta que suelen (por no afirmar que siempre) realizar modelos que cuentan con simetría axial. En esta propuesta, la simetría es respecto de la linea que pasa por los cuadrados en blanco, es decir, que si intercambiamos de forma apropiada los cuadros amarillos y verdes (esto es, cambiar la fila que ocupa una posición, por la correspondiente columna en esa posición), los números no cambian de lugar. Habremos, nuevamente, descubierto otra interesante propiedad del producto de números naturales: es conmutativa.
  4. Pero los cuadros que han quedado en blanco, no lo han hecho por falta de interés. Se trata de cuadrados perfectos, o como también se pueden introducir, de números cuadrados.
  5. Permite la manipulación de los números pares e impares, así como algunas propiedades de los mismos: (al multiplicar por un par, el resultado es par. Sólo se obtiene resultado impar, al multiplicar dos impares).
  6. Genera de manera intuitiva, los criterios de divisibilidad (a modo de ejemplo, un número será divivible por 5, si acaba en 0 o 5).

Ahora, si no te ha convencido mi discurso, puedes seguir con el método que nos enseñaron en la EGB. Yo, que este año me toca lidiar con las tablas de mi hija, lo voy a intentar así, pues me ofrece más garantías que inconvenientes y me permite enseñarle las Matemáticas, no como un conjunto de reglas, sino como una disciplina armoniosa y con la que disfrutar.




















domingo, 25 de diciembre de 2016

¿Cuántos cuadrados ves?


Hace una fechas, me topé con una de estas imágenes que circulan por las redes, en las que se ve un cuadrado subdividido y hacen la preguntita ¿Cuántos cuadrados ves? Al tratar de resolverlo, debes seguir alguna estrategia y en este caso, basta con contar. Tomemos como unidad, la medida del lado más pequeño y podemos contar cuántos hay de cada tipo. Veamos un ejemplo, donde  , denota el número de cuadrados que hay en uno, de tamaño i:
Y aquí vino mi sorpresa: ¡el número de cuadrados, se puede a su vez expresar como la suma de cuadrados de naturales consecutivos! Tan bonito resultado, no le queda más remedio que ser cierto y no fruto de la casualidad de estos primeros casos. Y en efecto es así. Para demostrarlo, pensemos que un cuadrado de tamaño mayor, se obtiene adosándole una orla al de tamaño inmediatamente anterior, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Y aquí, la Geometría se fusiona con el Análisis, para las cuentas. Claramente, el número de cuadrados, será el que haya en uno de tamaño inferior, junto con los nuevos que genere la orla. Denotando  al número de cuadrados nuevos, se tiene: , para i cualquier natural superior a uno.


Queremos demostrar que  (*). Además, esta suma no cuesta mucho demostrar que se puede expresar como:



Manos a la obra: para demostrar que el número de cuadrados es una suma de cuadrados como en (*), procedemos por inducción:

  • Para n=1, claramente se tiene la igualdad
  • Supongamos cierta la igualdad para un natural n.
  • Para n+1: 
Veamos entonces cuántos cuadrados nuevos se generan con la orla. Para ello, vamos a considerar el lado de los mismos:
- De lado 1: (n+1) + n = 2n+1
- De lado 2: n + (n-1) = 2n-1
- De lado 3: (n-1) + (n-2) = 2n-3
...................................................
- De lado n: 2 + 1 = 3
- De lado n+1: 1
_________________________________________________

En total: 


Pero la suma, es la de los n+1 términos de una progresión aritmética de diferencia 2, con lo que aplicado la consabida fórmula, se tiene:

lo que concluye la demostración.
Así, en número de cuadrados que "ves" en uno de lado n, viene dado por:
¿No es sencillamente precioso?