martes, 1 de noviembre de 2016

La letra del NIF

En esta entrada, voy a desgranar los entresijos que subyacen bajo la letra que acompaña a nuestro Documento Nacional de Identidad (DNI). La pretensión de la misma, es doble: por un lado servir de apoyo en mis clases en los primeros cursos de la Secundaria (por lo que la lectura de la primera parte, tiene un público generalista) y por otro, demostrar la valía del uso de números primos en códigos numéricos.
El Número de Identificación Fiscal (NIF) es un conjunto de 8 dígitos acompañados de una letra, que sirve como código de verificación, esto es, para evitar errores al introducir nuestros datos. Vemos cómo se obtiene dicha letra:

Dividimos la cifra de 8 dígitos  entre 23, con lo que el resto de la división entera ha de ser un número comprendido entre 0 y 22. La elección de la letra se realiza asignando al resto obtenido, la correspondiente en la siguiente tabla:

RESTO012345678910111213141516171819202122
LETRATRWAGMYFPDXBNJZSQVHLCKE
Para fijar ideas, veamos un ejemplo:
Supongamos que la cifra de nuestro DNI es 45234178, la división entre 23 es: 

Con lo que la letra correspondiente es la D y nuestro NIF sería: 45234178 D.

De manera natural, surgen dos preguntas:

1. ¿Por qué dividir entre 23?
Nuestro alfabeto cuenta con 27 letras, con lo que podría parecer natural dividir entre 27. Pero para evitar parecidos entre números y letras eliminamos I y O (pues podrían confundirse con los dígitos 1 y 0). También prescindimos de la Ñ por su similitud con la N. Dispondríamos entonces de 24 letras candidatas...¿porqué entre 23? La razón no es baladí, ya que 23 es el primo inmediatamente inferior a 24 y tiene como veremos, un interés especial. Así que quitamos otra letra de la lista, en este caso la U (no entiendo bien las razones de la elección, pero esa fue la que se eliminó).
Las ventajas de dividir entre 23, residen en la motivación de asignar una letra a nuestro DNI: es un código verificador de errores. Los más comunes son repetir un dígito, cambiar uno o permutar dos de ellos. En todos estos casos, la letra cambia, con lo que detectaríamos que hay un error. Siguiendo con el ejemplo:
  • 45234178 D (número original)
  • 55234178 T (repetición de un dígito)
  • 49234178 X (cambio de un dígito)
  • 54234178 V (permutación de dos dígitos)
2. ¿Qué esconde la primalidad de 23? 
La Teoría de grupos pone la alfombra roja para responder a la pregunta: en el grupo multiplicativo  todo elemento tiene inverso, lo que permite detectar los errores más comunes. En efecto:

Repetición de un dígito o alteración de uno de ellos:
 

La última equivalencia es factible por la consabida existencia de inverso de cualquier elemento.

Permutación de dos dígitos:









domingo, 16 de octubre de 2016

Puntos notables del triángulo

Hace unos días, mi compañera de dibujo Rosa Guillén, me transmitió una pregunta que le habían formulado sus alumnos de 4º de ESO: "¿porqué se cortan siempre las rectas notables de un triángulo?". Ni corta ni perezosa, como corresponde a una profesional inquieta, me trasladó la cuestión por si podía aportar luz. Suelo decir, que a los matemáticos no nos gustan los problemas (habrá a quien sí, e incluso meterse en ellos), si no que nos divertimos intentando resolverlos.
La preguntita, así formulada, con la espontaneidad de los niños cuando tienen 15 años y una mente no domada por los años de impartir docencia, me parecía un auténtico reto.

Y la solución a la misma, nació por el principio de dualidad: lo importante son los puntos.

  • El baricentro, es el centro de gravedad del triángulo. Desde el punto de vista práctico, si dispusiéramos de una mesa triangular a la que sólo quisiéramos poner una pata, sería ese el punto donde deberíamos colocarla. Para obtenerlo, basta con ver donde se cortan las medianas.
  • El incentro, es el centro de la circunferencia tangente a los lados y su construcción se basa en estudiar dónde se cortan las bisectrices (nótese que la tangente a una circunferencia forma un ángulo recto con el radio en el punto de tangencia y por lo tanto el incentro es un punto a igual distancia de los lados del triángulo, lo que en una red de carreteras triangular, permitiría poner una estación de servicio que enlazaría con las otras por el camino más corto).
  • El circuncentro, es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices y por lo tanto equidista de estos. Desde un punto de vista operativo, dados tres pueblos no alineados, si quisiéramos construir un Consultorio médico para a tender a sus habitantes (pues en estos tiempos de crisis, gracias a los recortes en Sanidad, no da para hacer uno en cada pueblo), éste debería ubicarse en el circuncentro. Y su construcción se basa en ver el punto de corte de las mediatrices (que son lugares geométricos que equidistan de los vértices entre los que se trazan).
  • El ortocentro, no tienen una aplicación tan directa...pero si las alturas, para calcular entre otras cuestiones, el área del triángulo. Entonces, ¿qué casualidad que también se cortan las alturas?. La explicación es sencilla: si por cada vértice del triángulo, trazamos una recta paralela al lado opuesto, estas se cortan dos a dos formando un nuevo triángulo. Y las alturas del triángulo inicial, resultan ser las mediatrices del nuevo, que sabemos que se cortan.
Así que las rectas notables se cortan, precisamente porque se construyen para obtener los puntos. De ahí que los realmente notables, sean los puntos y no las rectas. Si buscamos bibliografía de referencia (por ejemplo véase) observaremos que la relevancia la tienen los puntos.

La recta de Euler, dio pie a otra cuestión, que me ha motivado a realizar el siguiente applet de Geogebra. Si el genial Euler demostró en el s. XVIII que baricentro, circuncentro y ortocentro se encuentran alineados (precisamente la recta que los contiene lleva su nombre), ¿bajo qué condiciones los cuatro puntos notables pertenecen a la recta de Euler?. Y la condición necesaria y suficiente es que el triángulo tenga dos lados iguales (isósceles) coincidiendo entonces todas las rectas notables trazadas sobre el lado desigual con la de Euler.

martes, 11 de octubre de 2016

Premio en Ciencia en Acción 2016

Nuestra participación con el proyecto ¡Juguemos a clasificar superficies! en la XVII edición del concurso de ámbito internacional para países de habla hispana o portuguesa Ciencia en Acción, celebrada en la ciudad de Algeciras del 7 al 9 de octubre, ha sido galardonada con el primer premio en la categoría de Laboratorio de Matemáticas.

Aunque no es la primera vez (en 2013 y 2014 recibimos el primer premio ex aecuo y José Luis Rodríguez en 2012 una mención de honor), la sensación al oir pronunciar las primeras frases por las que el jurado justifica el premio, te hacen revivir la misma experiencia inigualable al sentirte ganador aún cuando no han pronunciado el nombre del proyecto.

Según reza en el acta del jurado:

"Por su cuidada presentación multimedia y desarrollo de software para difundir la topología a jóvenes de enseñanzas medias de un modo atractivo y fácilmente exportable a otros centros, se concede 1er Premio de Laboratorio de Matemáticas al trabajo “¡Juguemos a clasificar superficies! de José Luis Rodríguez, David Crespo, Dolores Jiménez, Antonio Zarauz y Diego Cangas de la Universidad de Almería (Almería)."

Qué duda cabe, que la incorporación de Antonio Zarauz y de Diego Cangas, eran apuestas ganadoras: su trabajo con Mathematica y realidad virtual ,respectivamente, dejaban pocas dudas en los visitantes del stand sobre la calidad del mismo.

Y como desde unos años hasta la fecha (que van 4, pero por su productividad han rendido como no sé bien cuantos más), el gran artífice de todo este proyecto, aportando ideas, aglutinando recursos humanos y haciendo que cada vez disfrute, si cabe, más con lo que hago, se encuentra mi álter ego José Luis Rodríguez Blancas. Gracias otra vez Maestro.


domingo, 18 de septiembre de 2016

Demostración del Teorema de Pitágoras

Todos los días son para aprender algo nuevo. Ciertamente, el Teorema de Pitágoras no es muy novedoso, que digamos, pero sí esta demostración que Antonio Frías ha tenido a bien mostrarnos en Facebook. Así que no me he podido resistir a realizarla con Geogebra, que permite la animación mediante deslizadores. Que la disfrutéis:

lunes, 25 de abril de 2016

Toro de papiroflexia: 360 módulos phizz




La entrada de la construcción del toro con 105 piezas, se ve ampliada con esta otra en la que vamos a describir algunas particularidades sobre la superficie y el ensamble de esta construcción, hermana mayor de la anterior.
En primer lugar, vamos a detenernos en los diseños, prestando atención a los polígonos que pueden intervenir en la misma. Puesto que el módulo que emplearemos es el phizz (véase su construcción y montaje aquí) y con el mismo se pueden hacer polígonos de cinco o más lados, supongamos que en la construcción del toro queremos emplear tres tipo de polígonos. A saber, p pentágonos, h hexágonos y k polígonos de n lados. Si notamos por C al número de caras, V al de vértices, A el de aristas y g el género de la superficie, todos estos valores se encuentran relacionados por la fórmula de Euler-Poincaré:

En nuestro caso además:
Sustituyendo en la fórmula de Euler -Poincaré y desarrollando la expresión resultante tenemos:




La expresión (*) tiene importantes consideraciones:
  • El polígono de menor número de lados que podemos usar con el módulo phizz, es el pentágono.
  • No podemos emplear, exclusivamente pentágonos y hexágonos.
  • El número de pentágonos, ha de ser proporcional al número de polígonos de n lados (donde el valor más pequeño de n es 7).
  • Si n=7, el número de pentágonos y de heptágonos empleados es el mismo (p=k).
  • Si n=8, el número de pentágonos es el doble que el de octógonos (p=2k, como ocurre en el toro 105).

Construcción del toro

Nuestra propuesta, incluye el uso de pentágonos (p=24), hexágonos (h=72) y heptágonos (H=24). Mediante las expresiones obtenidas anteriormente, resulta que la construcción resultante tiene:
  • A= 360 aristas
  • V= 240 vértices
  • C= 120 caras
y claramente 

Tras algún primer intento desastroso, pues las búsquedas en Internet te conducen en ocasiones a informaciones erróneas y las imágenes que encontraba, no permitían el detalle de las disposición de los polígonos, obtuvimos esta que si bien no se centra el estudio matemático de la superficie, por lo menos incluía un esquema acertado:
Phizz torus wireframe
Se trata de hacer dos copias de esta disposición, donde los hexágonos amarillos son compartidos y en la parte de abajo, comenzaríamos a construir nuevos heptágonos.
Dado que la actividad se llevó a cabo con nueve alumnos, vimos la necesidad de optimizar los recursos y diseñar un plan de trabajo que permitiese la participación de todos a la vez (cosa que es materialmente imposible si construimos directamente la figura). Para ello, diseñamos dos coronas, circulares empezando por 12 heptágonos cada una. Una vez cerrados los mismos, en la parte exterior se van sucediendo de forma alterna pentágonos con hexágonos, tal y como puede apreciarse en las fotos siguientes:




Y ahora nos toca ensamblar ambas piezas; para ello tendremos en cuenta:


  • Al unir la parte central (módulos rojos con amarillos) debemos eliminar dos de los amarillos y en su lugar ocuparlos por rojos. Este exceso de trabajo, se debe a la morfología del módulo, pues el sobrante amarillo, hace que el heptágono no se desarme.
  • En la parte externa: 
                   - Unimos los módulos situados bajo los pentágonos mediante un nuevo módulo, cerrándose así dos hexágonos.
                   - Ensamblamos los módulos situados bajo los hexágonos (nuevamente hay que eliminar dos módulos) generándose tres hexágonos.
Culminamos nuestra construcción, con las imágenes finales:




Ya sólo me queda agradecer el trabajo de mis alumn@s de 4ª de ESO Díver y esperar que esta experiencia les haya enriquecido tanto como a mi. Nuestro proyecto en la Feria de la Ciencia, en Sevilla, creo que tiene en ellos unos grandes divulgadores.

NOTA: El Profesor D. José Ignacio Royo (UPV-EHU), tiene un artículo sobre origami muy interesante, en que pude aclarar ciertas dudas clave de la culminación de este trabajo. y cuya lectura es de gran interés. 



Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

sábado, 23 de abril de 2016

Educando en valores desde el área de Matemáticas. Las mil grullas de sadako

El pasado sábado 9 de abril, se celebró en la UAL la III Jornada de Profesorado de Matemáticas de Almería, a la que asistieron más de 100 profesores de todos los niveles educativos. Este evento coincidía con el vigésimo aniversario de la Titulación de Matemáticas en nuestra Universidad, razón sobrada para colaborar activamente en el mismo. Puesto que las aportaciones podían ser en forma de taller y póster, decidí participar en ambas. Así, impartí junto con Antonio Frías (UAL) un taller titulado "Módulos de papiroflexia para construir Geometría" en el que dimos unas pinceladas sobre distintos módulos y las posibilidades didácticas que entrañan los mismos. Puesto que el tiempo del que disponíamos era infinitamente inferior a las posibilidades que ofrece la papiroflexia, expusimos una colección de figuras anteriormente realizadas y que en su mayoría son fruto del buen hacer de Antonio.


Mi otra aportación fue un póster basado en una experiencia realizada en curso 2014/2015 en el IES Ciudad de Dalías. Abordamos la Educación en Valores, a través de las Matemáticas, mediante una actividad que si bien no es novedosa en cuanto al formato, si lo es respecto del enfoque: la construcción de las mil grullas de Sadako, usando los contenidos matemáticos que de ellas se desprenden.

Los pormenores de la actividad, así como los antecedentes históricos, se encuentra recogidos en el siguiente enlace en formato pdf, que espero disfrutéis tanto como lo hicimos nosotros (y el jurado de la actividad, que tuvo a bien galardonar el aporte).

Y por encima de cualquier otra cosa, la más importante por lo que supuso (y sigue teniendo la misma vigencia) es la grulla dorada.

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

jueves, 21 de abril de 2016

Toro de papiroflexia: 105 módulos phizz


Ahondando en la pasión que siento por las construcciones con papel, vamos a explicar algunos datos sobre la elaboración de un toro usando técnicas de papiroflexia modular.
El toro, es un objeto geométrico que surge al hacer girar una circunferencia alrededor de una recta coplanaria a la misma, pero exterior a ella. Cualquier neófito, dirá que eso es un "Dónut" o parafraseando al gran Homer Simpson, una rosquilla!!!


La base de la construcción, es un módulo creado por Tom Hull llamado phizz (pentágono, hexágono y zigzag) cuya elaboración y el ensamble, pueden verse en el siguiente vídeo del Grupo Alquerque.
La elección de este módulo es debida, a pesar de su nombre, a que podemos realizar polígonos de un mayor número de lados (en concreto octógonos). La idiosincrasia del toro, con curvatura gaussiana negativa en su interior y positiva en la parte externa, hace que necesitemos una pluralidad de polígonos para obtener una triangulación de la superficie. Pensemos que podemos realizar mosaicos regulares con hexágonos, que al ser planos tendrían curvatura nula. Así, para obtener la positiva y la negativa, necesitamos transitar entre polígonos de un mayor número de lados para recubrir el interior y menor para el exterior.



Al tratarse el toro de una superficie orientable sin borde de género 1 (recordemos que el género de una superficie es el número de "agujeros"), la formula de Euler-Poincaré nos indica que el número de caras (C), el de vértices (V), el de aristas (A) están relacionados con el género (g) mediante la expresión:
                                                         
Usando el esquema de montaje, de Sarah Marie Belcastro, que puede verse en el siguiente artículo


debemos usar 5 octógonos, 10 pentágonos y 20 hexágonos para realizar nuestra construcción, en total C=35. Como cada vértice está determinado por tres aristas y cada arista sirve para construir dos vértices, se tienen V=(105/3)*2=70 vértices. Dos caras tienen en común una arista, por lo que el número de estas es A=(5*10+20*6+8*5)/2=105 aristas. Claramente, los valores obtenidos, satisfacen la ecuación de Euler-Poincaré.  

Ya sólo nos queda ponernos manos a la obra, y fruto de todo ello son estas imágenes:






Esta proyecto forma parte de la propuesta de la Feria de la Ciencia en Sevilla "¿Qué superficie topológica tengo en mis manos?. Juguemos a ser topólogos", y que en nuestro Centro (IES Alborán, Almería) estamos desarrollando junto al profesor José María Lirola con alumnos de 4º de ESO.
En esta andadura, estamos muy bien acompañados por José Luis Rodríguez (UAL), Lidia García (IES Francisco Montoya), Teresa Segura (IES Algazul) y Eva Acosta (IES Santo Domingo). 

NOTA: Otra propuesta de triangulación del toro, fue realizada por José Luis usando polifieltros, y puede ser consultada en la siguiente entrada de su blog.

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.


domingo, 28 de junio de 2015

La Deuda griega


Esta entrada, no será en términos púramente económicos. Más al contrario, es una modesta reflexión sobre la situación económica en Grecia, inspirada en una entrada en Facebook que pude ver el otro día. En la misma, se recordaba la deuda que la Humanidad tiene, de forma inmaterial, contraída con Grecia: escultores, escritores, héroes, la Filosofía, el Teatro, grandes Reyes... Mi cónica mirada, que siempre busca en la dirección que me interesa, echó en falta a los matemáticos. A ellos van dedicadas mis palabras y el eco de las mismas, al que quiera  oir en vez de escuchar.
Una búsqueda en Wikipedia, arroja 43 páginas en las que se recogen los matemáticos de la Antigua Grecia. Por destacar algunos:
  • Euclides  (ca. 325-ca. 265 a. C.), es conocido como "El Padre de la Geometría". El universo del saber matemático de la época fue recopilado por él en sus Elementos, obra cumbre de la disciplina que tuvo absoluta vigencia hasta el s. XIX. Es más, en los libros de Primaria y Secundaria, es la Geometría de Euclides la que impera.
  • Apolonio de Pérgamo (ca. 262 a. C- ?), conocido como "El gran geómetra", cuyos estudios versaron sobre las secciones cónicas y le debemos los nombres de elipse, hipérbola y parábola.
  • Herón de Alejandría (siglo I d. C.) que destacó en otros campos del saber y al que le debemos la fórmula para calcular el área de un triángulo, conociendo las longitudes de sus lados: la fórmula de Herón.
  • Diofanto de Alejandría que vivió en el s. III d. C y es considerado "el padre del álgebra". Las ecuaciones de las que buscamos las soluciones enteras, son conocidas como ecuaciones diofánticas
  • Pappus de Alejandría (s. III-IV d. C), que hizo importantes contribuciones en el campo de la geometría. El teorema que lleva su nombre, se estudia actualmente cuando hablamos de geometría proyectiva (y que por cierto, yo estudié).
En esta lista, se podría completar con: Amintas de Heraclea, Anaxímenes, Antifonte de Atenas, Aristarco de Samos, Aristilo, Arquitas, Asclepio de Tralles, Ateneo el Mecánico, Attalus de Rodas, Autólico de Pitane, Conon de Samos, Ctesibio, Demócrito, Dinóstrato, Diocles, Eratóstenes, Eudoxo de Cnido, Eutocio, Esporo de Nicea, Gémino de Rodas, Hiparco de Nicea, Hipaso de Metaponto, Hipatia, Hipias de Élide, Hipócrates de Quíos, Menecmo, Menelao de Alejandría, Metón, Nicómaco de Gerasa, Nicomedes, Pitágoras, Claudio Ptolomeo, Téano, Teeteto, Teodoro de Cirene, Teodosio de Bitinia, Teón de Alejandría, Tales de Mileto... 

Hasta el ideal de belleza, la razón áurea, se la debemos a Fidias. Cuando consideramos un cuerpo, una escultura, una ventana, los paquetes de tabaco, las tarjetas de crédito,...todos tienen unas proporciones que ya establecieron los griegos.

Las consideraciones anteriores, me permiten realizar el silogismo:
  • La Humanidad debe mucho al saber Griego.
  • La Humanidad debe ser protegida por las instituciones.

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          Las instituciones deben proteger a Grecia


 Esta entrada participa en la edición 6.5 “primos de Mersenne” del Carnaval de Matemáticas, alojada en el Blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla


jueves, 26 de marzo de 2015

Trasmisión de mensaje con Braille: la alfombra de Sierpinski



El IES Ciudad de Dalías, se ha sumado al proyecto Alfombra de Sierpinski. Esta semana hemos confeccionado dos cuartas iteraciones con los alumnos de 1º y 2º de ESO. Tras introducirlos en el mundo de los fractales y presentarlos mediante diversos ejemplos, hemos procedido a trabajar la alfombra. La interrelación entre los alumnos, nos parece una aportación interesante que puede sumarse al  proyecto.
Usando las plantillas de la alfombra (sin utilizar la columna que ocupa el lugar central de cada primera iteración), podemos escribir palabras de 8 letras de longitud usando el sistema Braille. El mismo, usa seis puntos para simbolizar las letras. La codificación de los caracteres puede verse en la imagen adjunta:
El Braille
enlace web


Tras explicar a los alumnos las nociones básicas de este método de comunicación, les hemos pedido que reproduzcan su nombre usando el método Braille, siendo el resultado el que se puede apreciar:

En la foto, de izquierda a derecha, Elena, Dounia, Silvia, María Mei, María y Ana


Esta última foto corresponde a una frase que los alumnos de segundo de ESO han reproducido y que el lector ávido de respuestas, puede descifrar.
Algunas de las imágenes tomadas durante el proceso de construcción, son las siguientes:




Francisco Soler con sus alumnos de segundo de ESO





En esta última foto, aparecen dos de mis abnegados compañeros de andadura, a la izquierda Ramón Manzano y a derecha Eduardo Joya (que aunque uno lleve el apellido y haga honor a él, hay muchas otras joyas en este Centro). Quisiera agradecer, por su dedicación y entrega, al resto de compañeros del IES Ciudad de Dalías su predisposición y el interés que ha suscitado en ellos esta actividad. Como no quiero perderme  a ninguno, los cito a todos. Amar aquello que hacéis, a pesar de todas las adversidades a las que hay que enfrentarse día a día, es un valor inmarcesible del que disponen nuestra Sociedad. 
Y sin ningun lugar a dudas, mi gratitud para los alumnos de este pequeño IES, que para mí es enorme.

Espero, junto a José Luis Rodríguez Blancas, que en las próximas fechas la Alfombra sea un vículo entre Centros distantes y que atendiendo a este código universal, nuestros alumnos puedan intercambiar experiencias.

No quiera pasar por alto otra posibilidad didáctica alternativa y complementaria a la transcripción del mensaje en Braille, es la utilización del código ASCII, que usaría las ocho casillas libres en la alfombra. Adelante, a explorar nuevas posibilidades de conocimiento y, por encima de cualquier otra cosa, a disfrutar de ello.


miércoles, 18 de marzo de 2015

II Jornadas de Escuela Moderna y Comunidades de aprendizaje

El sábado 14 de marzo, tuve el placer junto con mis incondicionales amigos José Luis Rodríguez Blancas y Dolores Jiménez Cárdenas de presentar un taller en las II Jornadas de Escuela Moderna y Comunidades de Aprendizaje. Este foro, organizado por diversos agentes del mundo educativo, se ha desarrollado durante los días 13 al 15 de marzo en el IES Al-Andalus de la capital almeriense. Los 250 participantes conformaban una amalgama interesante: desde profesores de todos los niveles educativos, hasta alumnado universitario, pasando por miembros de AMPAS e inclusive opositores ávidos en su búsqueda de actividades originales para sus programaciones didácticas.

El tema central de nuestro taller eran los fractales, esos objetos geométricos que tantas alegrías nos están últimamente reportando. Tras un somero repaso de los conceptos que nos disponíamos a ver (pues lo heterogéneo de los asistentes así lo requería) y después de  mostrar algunos aunque nutridos ejemplos, nos centramos en su aplicación al aula.  
Las limitaciones del tiempo, hicieron que tuviésemos que centrar nuestra atención en lo más destacado de las actividades que estamos llevando a cabo. Siguiendo esta linea, presentamos tres propuestas:
Los asistentes al taller, disfrutaron mucho con nuestras propuestas y juntos hicimos una alfombra de Sierpinski con una variante en el material utilizado: Polifieltros3D.




El álbum completo de las fotos que realizamos, se puede consultar aquí.
Agradecemos el entusiasmo de los participantes y el interés demostrado por las actividades que propusimos. Por si algo quedó en el tintero y para poder recordar lo que tratamos de exponer, os dejamos la presentación que usamos.