domingo, 15 de enero de 2017

Come migas por tu lado

En esta tierra que me vio nacer, Almería, existe una arraigada costumbre de comer migas los días lluviosos (esto no es óbice para degustarlas un 15 de julio con 40 grados a la sombra). Aunque no voy a entrar en la terminología que recoge el plato (como por ejemplo qué es una paila o la rasera) ni en los secretos culinarios que encierra este manjar tan apreciado, su receta se puede consultar aquí.
Paila de migas con el acompañamiento, entre el que no faltan los boquerones

Es tradición comer directamente de la paila, cuando el plato se prepara en el campo o en compañía de amigos, por lo que se usa con frecuencia la frase ¿cuándo hemos comido migas juntos? para mostrar la distancia entre dos conocidos cuando uno de ellos se toma alguna licencia.

Pero es otra la frase que da pie a esta entrada, Come migas por tu lado (que si la pronuncio, diría lao) la que motiva la misma: ¿cuál es mi lado?
Supongamos que la paila es una circunferencia C, de centro el punto O y nos encontramos sentados en el punto P. Queremos encontrar el punto P' de C, por el que introducir la cuchara. Claramente P' debe ser el punto de C más proximo a P y se obtiene intersecando la recta que pasa por O y P con C. Como estamos sentados fuera de la paila, P es exterior a C, con lo que la intersección de la recta OP con C, nos proporciona dos puntos: P', el más próximo a P y P'' el más alejado. En efecto, si Q es un punto de C distinto de P' y P'', tenemos la situación que muestra el siguiente dibujo:
d(P,O)=d(P,P')+d(P',O)<d(P,Q)+d(Q,O)d(P,P)<d(P,Q)

Finalmente

d(P,P′′)=d(P,O)+d(O,P′′)=d(P,O)+d(O,Q)>d(P,Q)d(P,P′′)>d(P,Q)

Ahora que ya sabemos por dónde introducir la cuchara, falta el día lluvioso para acompañar a las ricas migas con los inexcusables boquerones ¿Te gusta la propuesta?

domingo, 8 de enero de 2017

La Geometría al servicio de la moda: La pata de gallo

Algunos de los diseños que pueblan los tejidos con los que los diseñadores marcan las tendencias de la moda, están íntimamente ligados con ciertas construcciones matemáticas. Hoy, me voy a referir a los conocidos como pata de gallo, que desde hace algún tiempo abundan en los escaparates. 


Y precisamente es lo que me pasó el otro día: vi una prenda de ropa con este motivo, y me propuse desentrañar su construcción. 
Se trata de un mosaico periódico, cuyo tesela se genera a partir de un cuadrado, que se subdivide en otros 16 cuadrados congruentes. Trazando la poligonal del dibujo y trasladando esta, obtenemos la pieza que se va a repetir, la tesela. 

Y ahora basta con repetirla en direcciones perpendiculares entre si (nótese, que las teselas blancas, se generan por los huecos que dejan las negras). Y para divertirse, podéis manipular el siguiente applet de Geogebra.

martes, 3 de enero de 2017

Las tablas de multiplicar

En 2º de Primaria se introducen las consabidas tablas de multiplicar, pues son necesarias para aplicar el algoritmo que nos permite calcular la multiplicación de dos números. El método tradicional, consiste en ir aprendiendo una a una todas las tablas hasta el 9 (o el 10  aunque esta última no haga falta).
Hace poco, tuve contacto con otro método alternativo, que consiste en visualizarlas todas de golpe:


Si llegado este punto, has sufrido un sobresalto, te ruego que sigas leyendo y emitas tu opinión al terminar el post.

Cuando nos estudiamos (como yo hice e igual que como seguramente tú aprendiste) las tablas, era un signo de distinción decir hasta la que te sabías. Es por ello, que las que más quebraderos de cabeza ofrezcan sean las últimas y en las que solemos cometer más fallos. El motivo es que las primeras las recitamos muchas más veces que las últimas.

Pero además, hasta que no íbamos avanzando en el tedioso camino de recordarlas, no podíamos deducir ciertas propiedades algebraicas del producto, que por contra se adquieren con facilidad en la suma.
Veamos entonces qué ventajas respecto al método tradicional tiene este:

  1. Se puede dar a los escolares la tabla vacía, para que ellos la rellenen, poco a poco. Con ello, afianzamos el concepto de multiplicación, entendida como una suma repetida del mismo número.
  2. Por descubrimiento, el niño aprende que el cero es el elemento absorbente para el producto y que el uno es el elemento neutro.
  3. Si observamos los juegos de construcción de nuestros hijos, podremos darnos cuenta que suelen (por no afirmar que siempre) realizar modelos que cuentan con simetría axial. En esta propuesta, la simetría es respecto de la linea que pasa por los cuadrados en blanco, es decir, que si intercambiamos de forma apropiada los cuadros amarillos y verdes (esto es, cambiar la fila que ocupa una posición, por la correspondiente columna en esa posición), los números no cambian de lugar. Habremos, nuevamente, descubierto otra interesante propiedad del producto de números naturales: es conmutativa.
  4. Pero los cuadros que han quedado en blanco, no lo han hecho por falta de interés. Se trata de cuadrados perfectos, o como también se pueden introducir, de números cuadrados.
  5. Permite la manipulación de los números pares e impares, así como algunas propiedades de los mismos: (al multiplicar por un par, el resultado es par. Sólo se obtiene resultado impar, al multiplicar dos impares).
  6. Genera de manera intuitiva, los criterios de divisibilidad (a modo de ejemplo, un número será divivible por 5, si acaba en 0 o 5).

Ahora, si no te ha convencido mi discurso, puedes seguir con el método que nos enseñaron en la EGB. Yo, que este año me toca lidiar con las tablas de mi hija, lo voy a intentar así, pues me ofrece más garantías que inconvenientes y me permite enseñarle las Matemáticas, no como un conjunto de reglas, sino como una disciplina armoniosa y con la que disfrutar.




















domingo, 25 de diciembre de 2016

¿Cuántos cuadrados ves?


Hace una fechas, me topé con una de estas imágenes que circulan por las redes, en las que se ve un cuadrado subdividido y hacen la preguntita ¿Cuántos cuadrados ves? Al tratar de resolverlo, debes seguir alguna estrategia y en este caso, basta con contar. Tomemos como unidad, la medida del lado más pequeño y podemos contar cuántos hay de cada tipo. Veamos un ejemplo, donde  , denota el número de cuadrados que hay en uno, de tamaño i:
Y aquí vino mi sorpresa: ¡el número de cuadrados, se puede a su vez expresar como la suma de cuadrados de naturales consecutivos! Tan bonito resultado, no le queda más remedio que ser cierto y no fruto de la casualidad de estos primeros casos. Y en efecto es así. Para demostrarlo, pensemos que un cuadrado de tamaño mayor, se obtiene adosándole una orla al de tamaño inmediatamente anterior, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Y aquí, la Geometría se fusiona con el Análisis, para las cuentas. Claramente, el número de cuadrados, será el que haya en uno de tamaño inferior, junto con los nuevos que genere la orla. Denotando  al número de cuadrados nuevos, se tiene: , para i cualquier natural superior a uno.


Queremos demostrar que  (*). Además, esta suma no cuesta mucho demostrar que se puede expresar como:



Manos a la obra: para demostrar que el número de cuadrados es una suma de cuadrados como en (*), procedemos por inducción:

  • Para n=1, claramente se tiene la igualdad
  • Supongamos cierta la igualdad para un natural n.
  • Para n+1: 
Veamos entonces cuántos cuadrados nuevos se generan con la orla. Para ello, vamos a considerar el lado de los mismos:
- De lado 1: (n+1) + n = 2n+1
- De lado 2: n + (n-1) = 2n-1
- De lado 3: (n-1) + (n-2) = 2n-3
...................................................
- De lado n: 2 + 1 = 3
- De lado n+1: 1
_________________________________________________

En total: 


Pero la suma, es la de los n+1 términos de una progresión aritmética de diferencia 2, con lo que aplicado la consabida fórmula, se tiene:

lo que concluye la demostración.
Así, en número de cuadrados que "ves" en uno de lado n, viene dado por:
¿No es sencillamente precioso?

martes, 1 de noviembre de 2016

La letra del NIF

En esta entrada, voy a desgranar los entresijos que subyacen bajo la letra que acompaña a nuestro Documento Nacional de Identidad (DNI). La pretensión de la misma, es doble: por un lado servir de apoyo en mis clases en los primeros cursos de la Secundaria (por lo que la lectura de la primera parte, tiene un público generalista) y por otro, demostrar la valía del uso de números primos en códigos numéricos.
El Número de Identificación Fiscal (NIF) es un conjunto de 8 dígitos acompañados de una letra, que sirve como código de verificación, esto es, para evitar errores al introducir nuestros datos. Vemos cómo se obtiene dicha letra:

Dividimos la cifra de 8 dígitos  entre 23, con lo que el resto de la división entera ha de ser un número comprendido entre 0 y 22. La elección de la letra se realiza asignando al resto obtenido, la correspondiente en la siguiente tabla:

RESTO012345678910111213141516171819202122
LETRATRWAGMYFPDXBNJZSQVHLCKE
Para fijar ideas, veamos un ejemplo:
Supongamos que la cifra de nuestro DNI es 45234178, la división entre 23 es: 

Con lo que la letra correspondiente es la D y nuestro NIF sería: 45234178 D.

De manera natural, surgen dos preguntas:

1. ¿Por qué dividir entre 23?
Nuestro alfabeto cuenta con 27 letras, con lo que podría parecer natural dividir entre 27. Pero para evitar parecidos entre números y letras eliminamos I y O (pues podrían confundirse con los dígitos 1 y 0). También prescindimos de la Ñ por su similitud con la N. Dispondríamos entonces de 24 letras candidatas...¿porqué entre 23? La razón no es baladí, ya que 23 es el primo inmediatamente inferior a 24 y tiene como veremos, un interés especial. Así que quitamos otra letra de la lista, en este caso la U (no entiendo bien las razones de la elección, pero esa fue la que se eliminó).
Las ventajas de dividir entre 23, residen en la motivación de asignar una letra a nuestro DNI: es un código verificador de errores. Los más comunes son repetir un dígito, cambiar uno o permutar dos de ellos. En todos estos casos, la letra cambia, con lo que detectaríamos que hay un error. Siguiendo con el ejemplo:
  • 45234178 D (número original)
  • 55234178 T (repetición de un dígito)
  • 49234178 X (cambio de un dígito)
  • 54234178 V (permutación de dos dígitos)
2. ¿Qué esconde la primalidad de 23? 
La Teoría de grupos pone la alfombra roja para responder a la pregunta: en el grupo multiplicativo  todo elemento tiene inverso, lo que permite detectar los errores más comunes. En efecto:

Repetición de un dígito o alteración de uno de ellos:
 

La última equivalencia es factible por la consabida existencia de inverso de cualquier elemento.

Permutación de dos dígitos:









domingo, 16 de octubre de 2016

Puntos notables del triángulo

Hace unos días, mi compañera de dibujo Rosa Guillén, me transmitió una pregunta que le habían formulado sus alumnos de 4º de ESO: "¿porqué se cortan siempre las rectas notables de un triángulo?". Ni corta ni perezosa, como corresponde a una profesional inquieta, me trasladó la cuestión por si podía aportar luz. Suelo decir, que a los matemáticos no nos gustan los problemas (habrá a quien sí, e incluso meterse en ellos), si no que nos divertimos intentando resolverlos.
La preguntita, así formulada, con la espontaneidad de los niños cuando tienen 15 años y una mente no domada por los años de impartir docencia, me parecía un auténtico reto.

Y la solución a la misma, nació por el principio de dualidad: lo importante son los puntos.

  • El baricentro, es el centro de gravedad del triángulo. Desde el punto de vista práctico, si dispusiéramos de una mesa triangular a la que sólo quisiéramos poner una pata, sería ese el punto donde deberíamos colocarla. Para obtenerlo, basta con ver donde se cortan las medianas.
  • El incentro, es el centro de la circunferencia tangente a los lados y su construcción se basa en estudiar dónde se cortan las bisectrices (nótese que la tangente a una circunferencia forma un ángulo recto con el radio en el punto de tangencia y por lo tanto el incentro es un punto a igual distancia de los lados del triángulo, lo que en una red de carreteras triangular, permitiría poner una estación de servicio que enlazaría con las otras por el camino más corto).
  • El circuncentro, es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices y por lo tanto equidista de estos. Desde un punto de vista operativo, dados tres pueblos no alineados, si quisiéramos construir un Consultorio médico para a tender a sus habitantes (pues en estos tiempos de crisis, gracias a los recortes en Sanidad, no da para hacer uno en cada pueblo), éste debería ubicarse en el circuncentro. Y su construcción se basa en ver el punto de corte de las mediatrices (que son lugares geométricos que equidistan de los vértices entre los que se trazan).
  • El ortocentro, no tienen una aplicación tan directa...pero si las alturas, para calcular entre otras cuestiones, el área del triángulo. Entonces, ¿qué casualidad que también se cortan las alturas?. La explicación es sencilla: si por cada vértice del triángulo, trazamos una recta paralela al lado opuesto, estas se cortan dos a dos formando un nuevo triángulo. Y las alturas del triángulo inicial, resultan ser las mediatrices del nuevo, que sabemos que se cortan.
Así que las rectas notables se cortan, precisamente porque se construyen para obtener los puntos. De ahí que los realmente notables, sean los puntos y no las rectas. Si buscamos bibliografía de referencia (por ejemplo véase) observaremos que la relevancia la tienen los puntos.

La recta de Euler, dio pie a otra cuestión, que me ha motivado a realizar el siguiente applet de Geogebra. Si el genial Euler demostró en el s. XVIII que baricentro, circuncentro y ortocentro se encuentran alineados (precisamente la recta que los contiene lleva su nombre), ¿bajo qué condiciones los cuatro puntos notables pertenecen a la recta de Euler?. Y la condición necesaria y suficiente es que el triángulo tenga dos lados iguales (isósceles) coincidiendo entonces todas las rectas notables trazadas sobre el lado desigual con la de Euler.

martes, 11 de octubre de 2016

Premio en Ciencia en Acción 2016

Nuestra participación con el proyecto ¡Juguemos a clasificar superficies! en la XVII edición del concurso de ámbito internacional para países de habla hispana o portuguesa Ciencia en Acción, celebrada en la ciudad de Algeciras del 7 al 9 de octubre, ha sido galardonada con el primer premio en la categoría de Laboratorio de Matemáticas.

Aunque no es la primera vez (en 2013 y 2014 recibimos el primer premio ex aecuo y José Luis Rodríguez en 2012 una mención de honor), la sensación al oir pronunciar las primeras frases por las que el jurado justifica el premio, te hacen revivir la misma experiencia inigualable al sentirte ganador aún cuando no han pronunciado el nombre del proyecto.

Según reza en el acta del jurado:

"Por su cuidada presentación multimedia y desarrollo de software para difundir la topología a jóvenes de enseñanzas medias de un modo atractivo y fácilmente exportable a otros centros, se concede 1er Premio de Laboratorio de Matemáticas al trabajo “¡Juguemos a clasificar superficies! de José Luis Rodríguez, David Crespo, Dolores Jiménez, Antonio Zarauz y Diego Cangas de la Universidad de Almería (Almería)."

Qué duda cabe, que la incorporación de Antonio Zarauz y de Diego Cangas, eran apuestas ganadoras: su trabajo con Mathematica y realidad virtual ,respectivamente, dejaban pocas dudas en los visitantes del stand sobre la calidad del mismo.

Y como desde unos años hasta la fecha (que van 4, pero por su productividad han rendido como no sé bien cuantos más), el gran artífice de todo este proyecto, aportando ideas, aglutinando recursos humanos y haciendo que cada vez disfrute, si cabe, más con lo que hago, se encuentra mi álter ego José Luis Rodríguez Blancas. Gracias otra vez Maestro.